Comparaison Entre Modèles D’ondes De Surface En Dimension 2

On the basis of the principle of conservation of mass and fundamental principle of dynamics, we find the Euler equation enabling us to describe the asymptotic models of waves propagation in shallow water in dimension 1. To describe the waves propagation in dimension 2, a linear perturbation of the KdV equation is used by Kadomtsev and Petviashvili [Sov. Phys. Dokady 15 (1970) 539]. But that does not specify if the equations thus obtained derive from the Euler equation, that is shown by Ablowitz and Segur in [J. Fluid Mech. 92 (1979) 691–715]. We will insist, in same manner, on the fact that the equations of KP-BBM can be also obtained starting from the Euler equation, and up to what point they describe the physical model. In a second time, we take again the method introduced in the article of Bona et al. [Lect. Appl. Math. 20 (1983) 235–267] in which the solutions of long water waves in dimension 1, namely the solutions of KdV and BBM, are compared, to show here that the solutions of KP-II and KP-BBM-II are close for a time scale inversely proportional to the waves amplitude. From the point of view of modelling, it will be clear according to the first part, that only the model described by KP-BBM-II is well posed, and since from the physical point of view, KP-II and KP-BBM-II describe the small amplitude long waves when the surface tension is neglected, it is interesting to compare them. Moreover, we will see that the method used here remains valid for the periodic problems. Classification Mathématique. 35B05, 35B10, 35Q53, 65M99, 76B15. Reçu le 1er août 2006. Revisé le 23 janvier 2007. Mots Clés. KP, KP-BBM equations, models derivation, comparison, relaxation method. 1 Laboratoire Paul Painlevé, Université des Sciences et Technologies Lille 1, France. [email protected] c © EDP Sciences, SMAI 2007 Article published by EDP Sciences and available at http://www.esaim-m2an.org or http://dx.doi.org/10.1051/m2an:2007033 514 Introduction Dans ce papier, nous étudions certains modèles asymptotiques des ondes hydrodynamiques. On s’intéresse plus particulièrement aux modèles d’ondes longues de faible amplitude se propageant à la surface de l’eau en dimensions 1 et 2. L’écoulement du flux irrotationnel d’un fluide parfait incompressible homogène est décrit par l’équation d’Euler ∂u ∂t +∇ ( u 2 ) = −∇ ( P ρ0 ) −∇g z, où u ∈ R désigne le champ de vitesse. À partir de cette équation, on obtient les équations décrivant la surface libre η de ces ondes en dimension 1, à savoir les équations de Korteweg-de Vries (KdV) [15] ηt + ηx + 3 2 αηηx + 1 2 ( 1 3 − σ ) β ηxxx = 0, et de Benjamin-Bona-Mahony (BBM) [2], pour σ < 1/3, ηx + ηt + 3 2 α ηηx − 1 2 ( 1 3 − σ ) β ηxxt = 0, où σ > 0 désigne le nombre de Bond lié à la tension de surface, α est le quotient entre l’amplitude des ondes et la profondeur de l’eau, et β est le carré du quotient entre la profondeur et la longueur d’onde. En dimension 2, les modèles asymptotiques sont donnés par les équations de Kadomstev-Petviashvili [13] ( ηt + ηx + 3 2 αηηx + 1 2 ( 1 3 − σ ) βηxxx ) x + γ 2 ηyy = 0, appelées KP-I si σ > 1/3, KP-II si σ < 1/3, où γ désigne ici le carré du quotient entre les longueurs d’onde dans les deux directions du plan. De la même manière que l’on passe de KdV à BBM, on peut se demander quels sont les modèles correspondant aux équations KP-I et KP-II. Dans un premier temps, on vérifiera que seul le modèle décrit par l’équation KPBBM-II ( ηt + ηx + 3 2 αηηx − 1 2 ( 1 3 − σ ) βηxxt ) x + γ 2 ηyy = 0, pour σ < 1/3, est linéairement bien posé dans L(R), et donc est le seul modèle raisonnable. De même, BBM est un modèle raisonnable uniquement pour σ < 1/3. Une fois ce travail de modélisation effectué, on pourra, dans un second temps, comparer les solutions des équations de KP-II et KP-BBM-II. On supposera alors que α, β et γ sont égaux. Avant d’énoncer notre résultat, rappelons que Bona et al. [6] ont montré en dimension 1 : Théorème 0.1. Soient m ≥ 1 et f ∈ H(R). Soit α > 0 et soient η et ζ respectivement l’unique solution de KdV et de BBM dans C([0,∞[;Hm+5(R)), sous la condition initiale η|t=0 = ζ|t=0 = f . Alors, il existe α0 > 0, et pour 0 ≤ i ≤ m− 1, une constante d’ordre 1 Mi > 0, telle que si 0 < α ≤ α0, et pour 0 ≤ t ≤ α−1, on ait ||∂i xη(., t)− ∂ xζ(., t)||L∞(R) ≤ Miα t. Pour les modèles de dimension 2 sans tension de surface, on montrera un résultat similaire. Si on note X(R) l’ensemble des fonctions f de H(R) telles que ∂−1 x f soit dans H(R), on peut énoncer : Théorème 0.2. Soient m ≥ 2 et f ∈ X(R). Soit α > 0 et soient η et ζ respectivement l’unique solution de KP-II et de KP-BBM-II dans C ([−T, T ];Xm+5(R2)), avec T := α−1 Cm+5|f |m+5 , sous la condition initiale COMPARAISON ENTRE MODÈLES D’ONDES DE SURFACE EN DIMENSION 2 515 η|t=0 = ζ|t=0 = f . Alors, il existe α0 > 0, et pour tous entiers naturels 0 ≤ i+ j ≤ m− 2, une constante Ni,j > 0, dépendant uniquement de la norme de f dans X(R), telle que si 0 < α ≤ α0, et pour |t| ≤ T , on ait ||∂i x∂ yη(., ., t)− ∂ x∂ yζ(., ., t)||L∞(R2) ≤ Ni,jα |t|1/2. La preuve consistera à étudier les solutions des équations ut + uux + uxxx + ∂−1 x uyy = 0 (0.1) vt + vvx + vxxx − αvxxt + ∂−1 x vyy = 0. (0.2) La chose importante est de remarquer que, lorsque l’on prend α = β = γ, le passage de KP-II à (0.1) et de KP-BBM-II à (0.2) se fait uniquement à l’aide du changement de variables u(x, y, t) = η(x+ α−1t, y, α−1t), v(x, y, t) = ζ(x + α−1t, y, α−1t). Clairement, ce changement de variables nous permettra de généraliser nos résultats à des problèmes périodiques dans les deux directions d’espace. On pourra alors s’intéresser à cette comparaison de façon numérique en se restreignant à des domaines de type [−π, π] × [−π, π], puis en prolongeant par périodicité. On se demandera alors si l’intervalle du temps de comparaison pourrait être plus grand. On observera, effectivement, que les inégalités de comparaison restent vraies au-delà du temps donné par le théorème précédent, et que le comportement du problème non linéaire est semblable à celui du problème linéaire lors des premiers instants d’observation. 1. Dérivation de KP-BBM On s’appuie ici essentiellement sur les livres [17, 20]. Jusqu’à la Section 2, les résultats seront formels. On se place dans un référentiel galiléen de R, c’est-à-dire qu’on se munit d’un repère orthonormé (Ox,Oy,Oz) avec Oz vertical dirigé vers le haut et d’une chronologie, pour nous permettre d’étudier les aspects cinématiques de l’écoulement du fluide. On considère un flux irrotationnel d’un fluide parfait incompressible homogène remplissant le volume défini par −h < z < η(x, y, t) et (x, y) ∈ R tel que la surface libre du fluide soit décrite par l’équation z = η(x, y, t). On note ρ0 la constante représentant la masse volumique du système et T la tension de surface. Il existe une fonction potentielle de vitesse φ vérifiant φxx + φyy + φzz = 0 si− h < z < η(x, y, t), (1.1) φt + 1 2 (φx + φ 2 y + φ 2 z) + gη − T ρ0 ηxx(1 + η y) + ηyy(1 + η 2 x)− 2ηxyηxηy (1 + η2 x + η2 y) = 0 si z = η(x, y, t), (1.2) ηt + φxηx + φyηy − φz = 0 si z = η(x, y, t), (1.3) φz = 0 si z = −h. (1.4) L’existence de cette fonction φ est due au fait que le flux est irrotationnel ([19], Chap. 1 – Sect. 13), à cela s’ajoute la considération d’un fluide homogène ce qui donne l’équation (1.1) ([17], Chap. 8 – Sect. 1). L’équation (1.2) est l’équation d’Euler incompressible, elle découle directement du principe fondamental de la dynamique ([17], Chap. 7 – Sect. 1). L’équation (1.3) est une condition cinématique, elle traduit le fait que la vitesse d’écoulement du fluide est tangente à la surface. Enfin l’équation (1.4) impose une condition de non pénétration sur la surface intérieure ([17], Chap. 18 – Sect. 1). On suppose que l’équation de la surface vérifie η = O(a), où a est l’amplitude des ondes. On suppose de plus que l’amplitude des ondes a est négligeable par rapport à la profondeur h et que cette profondeur h est